قاعدة بايز

 يعتبر قاعدة بايز (Bayes' Rule) من الأدوات الأساسية في الإحصاء وعلم الرياضيات، وتستخدم لحساب الاحتمالية المشروطة لحدث ما بعد حدث آخر.

تعتمد قاعدة بايز على العلاقة بين الاحتمالية المشروطة والاحتمالية الغير مشروطة، وتقوم على فكرة تحديث الاحتمالية الغير مشروطة عندما يتم توفير معلومات جديدة.

وتتمثل قاعدة بايز في الصيغة التالية:

 

P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)

حيث:

P(A | B) هي الاحتمالية المشروطة لحدث A بعد حدث B

P(B | A) هي الاحتمالية المشروطة لحدث B بعد حدث A

P(A) هي الاحتمالية الغير مشروطة لحدث A

P(B) هي الاحتمالية الغير مشروطة لحدث B

ويمكن تطبيق قاعدة بايز على سيناريوهات مختلفة، مثل حساب احتمالية الإصابة بمرض معين بعد إجراء اختبار، أو تحديد مصدر المشكلة في عملية إنتاج، أو حساب الاحتمالية الغير مشروطة للحدث A بعد حدث B.

على سبيل المثال، إذا كانت الاحتمالية المسبقة لحدث A هي 0.4، والاحتمالية المسبقة لحدث B هي 0.6، والاحتمالية المشروطة لحدث A بعد حدث B هي 0.8، فإن الاحتمالية المشروطة لحدث B بعد حدث A ستكون:

P(B | A) = P(A | B) * P(B) / P(A)

P(B | A) = (0.8 * 0.6) / 0.4

P(B | A) = 1.2

ويمكن فهم هذه النتيجة بالقول إنه إذا كان الحدث A قد حدث بالفعل، فإن الاحتمالية المشروطة لحدوث الحدث B بعد حدوث A هي 1.2 مرة أعلى من الاحتمالية.

قاعدة بايز (Bayes' Rule) هي قاعدة حسابية في الإحصاء تستخدم لتحديد الاحتمالية المشروطة لحدث ما بعد حدث آخر. وتقوم القاعدة على توزيع الاحتماليات الشرطية والمعاكسة (المرجعية) للحدث المستقل.

لتطبيق قاعدة بايز، نحتاج إلى اتباع الخطوات التالية:

1. تعريف الأحداث: يجب تعريف الأحداث المراد حساب الاحتمالات المشروطة لها.

2. تحديد الأحتماليات المرجعية: يجب تحديد الاحتمالية الأساسية لحدوث الأحداث المرتبطة بدون أي شروط مسبقة.

3. تحديد الاحتماليات الشرطية: يجب تحديد الاحتمالية المشروطة لحدوث الحدث المعني بعد وقوع الحدث الأول.

4. تطبيق قاعدة بايز: يتم حساب الاحتمالية المشروطة باستخدام الصيغة التالية:

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

حيث:

P(A|B): الاحتمالية المشروطة لحدث A بعد وقوع حدث B.

P(B|A): الاحتمالية المشروطة لحدوث حدث B إذا حدث حدث A.

P(A): الاحتمالية الأساسية لحدث A.

P(B): الاحتمالية الأساسية لحدوث حدث B.

يمكن تطبيق قاعدة بايز في العديد من المجالات، مثل تشخيص الأمراض وتحليل البيانات. فعلى سبيل المثال، يمكن استخدام قاعدة بايز لتحديد احتمال إصابة المريض بمرض ما بعد إجراء اختبار معين. ويمكن تطبيق القاعدة لحساب الاحتمالية المشروطة للمرض بعد أخذ بعض العوامل المحددة في الاعتبار، مثل العمر والنوع والتاريخ الصحي للمريض.

الاحصاء: الاحتمالية المشروطة والاحتمالية غير المشروطة

 تختلف الاحتمالية المشروطة عن الاحتمالية غير المشروطة في الإحصاء. فالاحتمالية غير المشروطة تشير إلى الاحتمالية الأساسية لحدوث حدث معين، دون أن يتم النظر إلى أي ظروف أو عوامل أخرى.

أما الاحتمالية المشروطة، فتشير إلى الاحتمالية لحدوث حدث معين، ولكن يتم تحديدها بناءً على شروط محددة. وبالتالي، فإن الاحتمالية المشروطة تعتمد على وجود شروط أو عوامل معينة، والتي يتم استنتاج الاحتمالية من خلالها.

على سبيل المثال، إذا كانت هناك حقيبة تحتوي على 4 كرات حمراء و 6 كرات خضراء، فإن الاحتمالية غير المشروطة للحصول على كرة حمراء هي 4/10 أو 0.4، حيث تشير هذه الاحتمالية إلى احتمالية الحصول على كرة حمراء بدون أي شروط.

أما الاحتمالية المشروطة، فمن الممكن أن تحددها بناءً على شرط محدد، مثل الاحتمالية المشروطة للحصول على كرة حمراء إذا كانت الكرة المستخرجة من الحقيبة خضراء. في هذه الحالة، يتم تحديد الاحتمالية المشروطة بناءً على الشرط، أي الحصول على كرة حمراء بشرط أن تكون الكرة المستخرجة خضراء، ويمكن حساب الاحتمالية المشروطة بالطريقة التالية:

الاحتمالية المشروطة للحصول على كرة حمراء بشرط أن تكون الكرة المستخرجة خضراء = (4/9) ، حيث يتم حساب هذه الاحتمالية بالتقسيم بين عدد الكرات الحمراء المتبقية (4) على عدد الكرات الخضراء المتبقية (6-1=5) و(4+5=9).

تختلف الاحتماليات الشرطية (Conditional Probabilities) عن الاحتماليات الغير شرطية (Unconditional Probabilities) في الإحصاء. ففي الاحتماليات الغير شرطية، يتم حساب الاحتمالية لحدث معين دون أي شرط أو قيود. أما في الاحتماليات الشرطية، فيتم حساب الاحتمالية لحدث معين تحت شرط معين.

وبمعنى آخر، فإن الاحتمالية الغير شرطية هي الاحتمالية التي يتم حسابها بغض النظر عن أي شروط أو حوادث أخرى، أما الاحتمالية الشرطية فهي الاحتمالية التي يتم حسابها وفقًا للشروط أو الحوادث الأخرى التي يتم تحديدها.

وعلى سبيل المثال، إذا كان لدينا صندوق يحتوي على 10 كرات حمراء و 5 كرات زرقاء، فإن احتمالية اختيار كرة حمراء من الصندوق دون أي شروط أو قيود هي 10/15، أي 2/3. ومن الناحية الأخرى، إذا كان لدينا شرط محدد، مثل اختيار كرة حمراء من الصندوق بعد اختيار كرة زرقاء أولاً، فإن الاحتمالية الشرطية هي 9/14، أي أنه يجب أن تكون الكرة الثانية حمراء مع اختيار كرة زرقاء أولاً.

وبشكل عام، فإن الفرق بين الاحتماليات الغير شرطية والاحتماليات الشرطية يتمثل في وجود شرط محدد يؤثر على الاحتمالية. في الاحتماليات الغير شرطية، لا يوجد شرط محدد يؤثر على الاحتمالية، بينما في الاحتماليات الشرطية، يوجد شرط محدد يتم تحديده قبل حساب الاحتمالية.

تختلف الاحتمالية المشروطة (Conditional Probability) عن الاحتمالية الغير مشروطة (Unconditional Probability) في الإحصاء. فالاحتمالية المشروطة هي الاحتمالية التي تحدث بشرط معين أو مرتبطة بحدث معين آخر، في حين أن الاحتمالية الغير مشروطة تشير إلى الاحتمالية التي يحدث حدث ما بغض النظر عن الشروط المحددة.

بشكل أكثر تحديدًا، يتم حساب الاحتمالية المشروطة عندما يتم تحديد شرط محدد مثل وقوع حدث معين. ويتم حساب الاحتمالية المشروطة باستخدام معادلة بايز التي تأخذ في الاعتبار الشرط المحدد. ومن المثال الشائع على ذلك هو احتمالية الإصابة بمرض معين مع العلم أن الفرد يحمل مورث خاص للمرض.

أما بالنسبة للإحتمالية الغير مشروطة فهي تشير إلى الاحتمالية التي لا تعتمد على شرط محدد، وتعبر عن احتمالية حدوث حدث ما بشكل عام. وهي تحسب بإجراء تجربة محددة أو بتحليل البيانات المتاحة. ومن المثال الشائع على ذلك هو احتمالية رمي النرد والحصول على وجه معين أو أي وجه آخر.

وبشكل عام، يمكن تمييز الاحتمالية المشروطة والغير مشروطة من خلال وجود شرط محدد أو عدم وجوده. في حين يتم حساب الاحتمالية المشروطة عندما يكون لدينا شرط معين أو حدث مرتبط، يتم حساب الاحتمالية الغير مشروطة بدون وجود شرط محدد أو حدث مرتبط.

الاحصاء: الأحداث المستقلة والأحداث المستقلة بشرط

 تختلف الأحداث المستقلة والأحداث المستقلة شرطياً في الإحصاء، حيث إن الأحداث المستقلة هي الأحداث التي لا تتأثر ببعضها البعض، ويكون احتمال حدوث كل حدث منفصلاً وغير مرتبط بحدوث الحدث الآخر. وبالتالي، فإن نتيجة الحدث الأول لا تؤثر على نتيجة الحدث الثاني، والعكس صحيح، وذلك لأنهما مستقلان بشكل كامل. 

أما الأحداث المستقلة شرطياً فهي الأحداث التي تكون مستقلة في حالة معينة أو شرط معين، ولكنها غير مستقلة في ظروف أخرى. وبالتالي، فإن احتمالية حدوث الحدث الأول تتأثر بحدوث الحدث الثاني في بعض الظروف، ولكن لا تتأثر في ظروف أخرى. وتعتمد احتمالية الحدث الأول بعد حدوث الحدث الثاني على الشرط الموجود. 

على سبيل المثال، إذا كان لدينا حدثًا أول وهو اختيار كرة بيضاء من صندوق يحتوي على كرات بيضاء وسوداء، وحدثًا ثاني وهو اختيار كرة بيضاء أخرى بعد إعادة الكرة الأولى، فإن هذين الحدثين مستقلان بشكل كامل. 

أما إذا كان الحدث الثاني هو اختيار كرة بيضاء بعد اختيار كرة سوداء في الحدث الأول، فإن الحدث الأول يؤثر على الحدث الثاني ويجعلها أحداثاً مستقلة شرطياً، حيث يزيد احتمال حدوث الحدث الثاني على اختيار كرة بيضاء بعد اختيار كرة سوداء في الحدث الأول.

تختلف الأحداث المستقلة والأحداث ذات الاستقلالية الشرطية في الإحصاء من حيث العلاقة بينهما.

تعني الأحداث المستقلة بأن حدثًا معينًا لا يؤثر على الحدث الآخر. ويمكن التعبير عن الأحداث المستقلة باستخدام الصيغة التالية:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

حيث أن P(A ∩ B) تعني احتمالية حدوث الحدثين A و B معًا، وP(A) وP(B) هي احتماليات حدوث كل من الحدثين A و B بشكل مستقل. وبمعنى آخر، فإن حدوث الحدث A لا يؤثر على حدوث الحدث B، والعكس صحيح.

بالمقابل، تعني الأحداث ذات الاستقلالية الشرطية أن حدثًا معينًا يؤثر على الحدث الآخر بشرط وجود حدث ثالث. يمكن التعبير عن الأحداث ذات الاستقلالية الشرطية باستخدام الصيغة التالية:

P(A ∩ B | C) = P(A | C) * P(B | C)

حيث أن P(A ∩ B | C) تعني احتمالية حدوث الحدثين A و B معًا بشرط وجود الحدث C، و P(A | C) وP(B | C) هي احتماليات حدوث كل من الحدثين A و B بشرط وجود الحدث C.

وبمعنى آخر، فإن الحدث C يعتبر مشتركًا بين الحدثين A و B، وبوجود الحدث C يمكن أن يؤثر الحدث A على الحدث B أو العكس صحيح. وعلى سبيل المثال، إذا كانت الحدثين A و B تمثلان رمي النرد، والحدث C هو أن مجموع النقاط الذي ظهر على النرد هو 7، فإن حدث A يمكن أن يكون الحصول على الوجه 4، وحدث B يمكن أن يكون الحصول على الوجه 3. 

وعلى سبيل المثال، إذا كانت هناك مجموعة من الطلاب في الصف ونريد معرفة احتمالية أن يتم اختيار طالب معين كرئيس للصف، فإن احتمالية ذلك تكون مستقلة تماماً عن أي شيء آخر. ولكن إذا كنا نريد معرفة احتمالية اختيار طالب معين كرئيس للصف عندما تكون الصف مكوناً من طلاب معينين، فإن هذا يعد حدثًا مستقلاً شريطة الشرط. ويتأثر الحدث المستقل بحدوث الشرط، لأن حدوث الشرط سيؤثر على احتمالية حدوث الحدث المستقل.

وبشكل عام، فإن الفرق بين الأحداث المستقلة والأحداث المستقلة بشرط يتمثل في وجود شرط محدد يؤثر على الاحتمالية.

الإحصاء: الأحداث المستقلة و الأحداث المتعارضة

 يشير مصطلح "الأحداث المستقلة" في الإحصاء إلى الأحداث التي لا تتأثر ببعضها البعض. وهذا يعني أن حدوث أحد الأحداث لا يؤثر على حدوث الأحداث الأخرى. على سبيل المثال، إذا كان لدينا رميتين مستقلتين للنرد، فإن حدوث رقم معين في الرمي الأول لا يؤثر على حدوث نفس الرقم في الرمي الثاني. وبمعنى آخر، فإن نتيجة الحدث الأول لا تؤثر على نتيجة الحدث الثاني. وبالتالي، فإن احتمال حدوث الحدث الأول لا يتأثر بحدوث الحدث الثاني والعكس صحيح، وذلك لأنهما مستقلان عن بعضهما البعض. 

أما "الأحداث المتعارضة" في الإحصاء، فيشير هذا المصطلح إلى الأحداث التي لا يمكن حدوثها معًا. وهذا يعني أن حدوث واحدة من الأحداث يستبعد حدوث الأخرى. على سبيل المثال، إذا كان لدينا حدثين متعارضين هما "الحصول على صورة" و "الحصول على كتابة"، فإن حدوث الحدث الأول يستبعد حدوث الحدث الثاني. فهي الأحداث التي لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت، ولا يمكن أن يحدث أكثر من واحد منهما في نفس الوقت. وبالتالي، فإن نتيجة الحدث الأول تستبعد حدوث الحدث الثاني والعكس صحيح، وذلك لأنهما متبادلان فيما بينهما. 

ومن المهم التمييز بين الأحداث المستقلة والأحداث المتعارضة لأنهما يتم التعامل معهما بشكل مختلف في الإحصاء. في حين يمكن حساب احتمالية حدوث الأحداث المستقلة بشكل منفصل، يتطلب العمل مع الأحداث المتعارضة تقنيات مختلفة سنتعرض لها لاحقاً. 

الاحصاء: الحدث

كما أسلفنا سابقاً فإن علم الإحصاء يهتم بتفسير نتائج التجارب أو الأحداث المختلفة وبما ساعدنا على فهم أكبر واتخاذ قرارات أكثر صحة ومن أجل ذلك فإن هناك مجموعة من المصطلحات التي يجب أن يتم دراستها والتعرف عليها ومن هذه المصطلحات الحدث و مساحة الحدث.  

يشير مصطلح "الحدث" في الإحصاء إلى أي حدث يتم دراسته أو تحليله. يمكن أن يكون الحدث عبارة عن تجربة أو تحديث أو حدث في الواقع مثل الاستفتاء على الانتخابات أو دراسة السلوك الاجتماعي لفئة معينة من الأفراد. 

فيما يتعلق بـ "مساحة الحدث"، يشير هذا المصطلح إلى النطاق أو المجال الذي يتم فيه تحليل الحدث. ويشمل ذلك البيانات المتاحة وطريقة جمعها وتحليلها والنتائج التي يتم الوصول إليها. يتم تحديد مساحة الحدث بشكل واضح قبل بدء الدراسة ويتم تحديد نطاقه بناءً على الأهداف المحددة للدراسة. 

على سبيل المثال، إذا كنت تريد دراسة تأثير حملة إعلانية على المبيعات لمنتج معين، فإن "مساحة الحدث" ستكون منتجك والحملة الإعلانية المتعلقة به. سيتم جمع البيانات حول هذا المنتج وحملة الإعلانات الخاصة به ويتم تحليلها لتحديد تأثير الحملة الإعلانية على المبيعات. 

ومن المهم أن تتم دراسة الحدث ومساحته بشكل دقيق ومحدد بوضوح، حتى يمكن الوصول إلى نتائج موثوقة ودقيقة من الدراسة.

الاحصاء: الحادث

في الإحصاء الحادث إما أن يكون مركب أو بسيط ، و يمكن و صف أي حادث بأنه بسيط إذا كان نتيجة لأداءة تجربة بنائتج متجانسة (صنف واحد) و على سبيل المثال عند رمي قطعة معدنية من النقود فإن نتيجة هذه التجربة يكون إما كتابة أو صورة و تكتب هذه النتيجة كما يلي ح = (ك ، ص) . 

و قد يكون الحادث مركب اذا كانت العناصر أكثر من صنف واحد و للتوضيح اكثر فإن تجربة إلقاء قطعة من النقود مع قطعة من زهر النرد هي عبارة عن حادث مركب.

ما سبق هو احدى الطرق لتصنيف الحوادث ، بالإضافة إلى ذلك يمكن تصنيف الحوادث إلأى: 

1) أحداث متنافية (أو غير متنافية).

2) أحداث مستقلة (أو غير مستقلة).

3) أحداث شرطية. 

4) أحداث جامعة. 

و على  سبيل المثال فإن الاستقلالية و عدم الاستقلالية هما طريقة أخرى للنظر إلى الأحداث , فحادثة ولادة ذكر أو أنثى لأم حامل هما متنافينا  و في نفس الوقت هما مستقلا.

يقال عن الأحداث أنها شرطية ، بمعنى أنها صيغة من الأحداث تعبر عن حدوث أحدها بشرط حدوث الآخر.